मर्मजिज्ञासा प्रश्नसंच - ६ उत्तरे

प्रश्न

१)    इंद्रधनुष्य हे वर्तुळखंड (आर्क ऑफ अ सर्कल) [किंवा खूप उंचीवरून पूर्णवर्तुळसुध्दा] याच आकाराचे का दिसते?

२)    वयपरत्वे स्मरणशक्ती हळू हळू क्षीण होऊ लागते. हे घडताना सर्वात अगोदर विशेषनामे (माणसांची सिनेमांची कंपन्याची वगैरे नावे) न आठवण्याचा त्रास सुरू होतो. म्हणजे त्या व्यक्तीचे सगळे काही आठवते पण नावच नेमके आठवत नाही आणि दुसऱ्या दिवशी अचानक आठवतेसुध्दा. विशेषनामांबाबतीतच (प्रॉपरनाउन्स) हे सर्वप्रथम का व्हावे?

३)    ‘एक-अनंतांश पण शून्य नव्हे’ म्हणजे इनफाईनिटेसिमल ही संकल्पना आत्मविसंगत नाही काय? तरीही त्यावर कॅल्क्युलस आधारलेले आहे व ते उपयोगी पडते हे कसे?

४)    एका हिऱ्यात हिऱ्याचे किती रेणू असतात हे सांगता येईल काय? (आकारमान अगदी सूक्ष्म मापात माहीत आहे असे मानून)

५)    टेलिफोन-नंबर ही संख्या आहे काय? का?

उत्तरे

१)  इंद्रधनुष्य हे वर्तुळखंड (आर्क ऑफ अ सर्कल) [किंवा विमानातून पूर्णवर्तुळसुध्दा] याच आकाराचे का दिसते?

आपल्याला जेथे इंद्रधनुष्य दिसत असते तेथे पाण्याच्या तुषारांचा मोठा समूह असतो. सूर्य जवळ जवळ पश्चिमेकडे गेलेला असताना हा तुषारांचा समूह पूर्वेकडे असावा लागतो. (आणि उलटपक्षी तसेच). तुषारांवर पडणारा सूर्यकिरणांचा झोत हा जवळ जवळ समांतरच असतो. तुषारात शिरल्यावर किरणाचे वक्रीभवन आणि अंतर्गत परावर्तन होते व तो उलट बाहेर पडतो. (हे का घडते ते भौतिकीत पाहावे) ज्या ज्या किरणाची दिशा उणे ४० ते उणे ४२ अंशांनी बदलते (उलटा येतो म्हणून ‘उणे’) त्याचे या प्रक्रियेत रंग पृथक्करण घडते. मूळ समांतर किरणाच्या उलट बाजूला ४० अंश कोनात जे कोणी प्रेक्षक असतील त्यांना तो तुषार सप्तरंगी दिसेल.

आता आपल्या नजरेची रचना काय असते त्याकडे वळू. शंकू म्हटले की तो वर्तुळाकारच असे मानण्याची सवय पडलेली असली तरी शंकू ही व्यापक कल्पना आहे. एका प्रतलातल्या कशाही आकृती पासून प्रतलाबाहेरील बिंदूला जोडणापायऱ्या सर्व सरळ रेषांनी बनणारे पृष्ठ हे शंक्वाकारच असते. आपण सिनेमागृहात आयताकृती पडद्याकडे बघतो तेव्हा त्या पडद्यापासून आपल्या पर्यंत एकवटणारा आयत-पिरॅमिड हा आपला नजर-झोत असतो

आता परत इंद्रधनुष्याकडे वळू. सप्तरंगी दिसणारा कोणताही तुषारपुंजका अशाच जागी असावा लागेल की ज्याच्यापासून आपल्या नजरेला जोडणारी सरळ रेषा ही समांतर झोताच्या दिशेशी ४० अंशात असेल.

एकाच वर्तुळावर एकाच उंचीचे एक दंडगोल आणि एक शंकू काढून पाहता शंकूच्या प्रत्येक तिरक्या रेषेचा दंडगोलाच्या प्रत्येक समांतर रेषेशी एकच एक कोन असतो हे सहजच दिसून येते. (आकृती पहा)

अशा तऱ्हेने दंडगोल किरण-झोत आणि वर्तुळ-शंकू आकाराचा नजर-झोत यांचे मिलन वर्तुळखंडावरच होऊ शकते, म्हणून इंद्रधनुष्य हे वर्तुळखंडाकारच दिसते.    

२)  वयपरत्वे स्मरणशक्ती हळू हळू क्षीण होऊ लागते. हे घडताना सर्वात अगोदर विशेषनामे (माणसांची सिनेमांची कंपन्याची वगैरे नावे) न आठवण्याचा त्रास सुरू होतो. म्हणजे त्या व्यक्तीचे सगळे काही आठवते पण नावच नेमके आठवत नाही आणि दुसऱ्या दिवशी अचानक आठवतेसुध्दा. विशेषनामांबाबतीतच(प्रॉपरनाउन्स) हे सर्वप्रथम का व्हावे?

यासाठी प्रथम आपल्याला स्थानके आणि मार्गिका अर्थात नोड्स आणि लिंक्स ही जोडी लक्षात घ्यावी लागेल. कोणतेही जाळे म्हणजे नेटवर्क हे नोड्स आणि लिंक्स या मूलभूत कोटी वापरल्याशिवाय कल्पिता/चिंतिता येत नाही. कोणत्याही दोन आयटेम्स(ज्याचा विचार करायचा असे एकक म्हणजे आयटेम, ही केवळ कल्पना असेल, प्रतिमा असेल, वस्तू असेल, प्रक्रिया असेल किंवा हा एखादा संबंध असेल. आयटेम कशालाही म्हणता येते.) सध्या आपण व्यक्ती आणि तिचे नाव या दोन गोष्टी स्मृतीतल्या नेटवर्कमध्ये कशा स्थित असतात हे लक्षात घेऊ.

‘व्यक्तीचे सगळे आठवते’ यात सगळे म्हणजे आपल्याला प्रस्तुत असलेले सगळे. प्रस्तुतता/रिलेव्हंस ही एका आयटेमवरून दुसऱ्या आयटेमवर जाण्याची सर्वाधिक ताकदवान सोय आहे. चेहेरे लक्षात ठेवणे ही क्षमता अतिशय तीव्र असते. मनातील व्यक्ती-ओळख म्हणजे अनेक संबंधांचा संपात(कंकरन्स वा कॉंग्रुअन्स) असते. हे संबंध आपल्या जीवनातील अनेक संदर्भांशी जोडले गेलेले असतात. व्यक्तिप्रतिमेची नोड भरपूर मार्गीकांनी/लिंक्सद्वारे भरपूर इतर नोड्सशी जोडली गेलेली असते. चाचपडण्याच्या ओघात थोड्याशा मार्गिका/लिंक्स लागल्या की त्या नोडवर पोहोचता येते. म्हणजेच व्यक्ती ही गोष्ट मोठ्या जाळ्यात वसत असते.

या उलट व्यक्ती आणि तिचे नाव हा एकास एक संबंध(वन वन कॉरस्पॉंडन्स) असतो. नाव आणि व्यक्ती यांना जोडणारी एकच एक लिंक असते. ही लिंक नाही लागली की इतर ‘ताळे’ ती लिंक लागायला उपयोगी पडत नाहीत. विशेषनामे आणि त्या त्या गोष्टी या एकांड्या लिंक्स असतात म्हणून विशेषनामे अगोदर क्षीण होतात.

उदा कामिनी कौशल, अचला सचदेव, निरूपा रॉय या ‘माँ’ आहेत त्यापैकी कोणती? हा चेहेरा जरी आठवला तरी नाव आठवत नाही. मग ‘वक्त’मधली ‘माँ’ अशी चौकशी केली तर अचला सचदेव हे नाव कोणीतरी सांगते किंवा यदृच्छया काही कारणानी बलराज सहानी हे नाव मनात आले आणि ‘जोडी’ हा संबंध छेडला गेला तरी अचानक अचला सचदेव हे नाव आठवू शकते! नावातला उच्चारसाधर्म्य असलेला तुकडा जरी मनात आला तरी नाव आठवू शकते

३)  ‘एक-अनंतांश पण शून्य नव्हे’ म्हणजे इनफाईनिटेसिमल ही संकल्पना आत्मविसंगत नाही काय? तरीही त्यावर कॅलक्युलस आधारलेले आहे व ते उपयोगी पडते हे कसे?

जेव्हा दोन्ही(किंवा त्याहून अधिकही) चलघटक बदलते असतात तेव्हा अशी अडचण निर्माण होते. ही एकाला स्थिर ठेवले आणि दुसऱ्यातला बदल घेऊन त्या बदलाने पहिल्या घटकाला गुणले तर उत्तरात त्रुटी निर्माण होते. कारण तेवढ्या अवधीत दुसरा घटकही किंचित बदलतोच. थोड्या थोड्या अंतराने असे गुणाकार करत गेलो तर त्यांची बेरीज कमी भरते. पण जर कृत्रिम रित्या स्थिर मानलेल्या घटकाचे जास्तीत जास्त लहान तुकडे करत गेलो तर त्रुटी कमी कमी होत जाते. जेव्हा प्रक्रिया व्यामिश्र(कॉम्प्लेक्स) असते तेव्हा साध्या गणिताने उत्तर मिळत नाही. थेट अचूक उत्तर नसले आणि त्रुटी कमीत कमी करत अचूकतेकडे जाणारे उत्तर असले तरी हे व्यवहारतः उपयोगी पडतेच. यासाठी एक अनंतांश पण शून्य नव्हे ही स्वयंव्याघाती कल्पना असूनही गणिती हत्यार म्हणून यशस्वी ठरली आहे. द्वंद्वात्मक विचार हे जे तत्त्वज्ञानातले प्रकरण आहे ते समजावून घेताना औपचारिक तर्कशास्त्र हे कुठे अपुरे पडते हे कळण्यासाठी इनफाईनिटेसिमल हे उदाहरण उपयोगी पडते.   

४)  एका हिऱ्यात हिऱ्याचे किती रेणू असतात हे सांगता येईल काय? (आकारमान अगदी सूक्ष्म मापात माहीत आहे असे मानून)

हिरा आणि ग्राफाईट हे दोन्ही पदार्थ शुध्द कार्बन या मूलद्रव्याचे बनलेले असतात. कार्बनची संयुजा(व्हॅलन्सी) ४ असल्याने कार्बन दुसऱ्या अणूशी ‘दोघात मिळून एक जोडी इलेक्ट्रॉन’ असे बंध निर्माण करतो. एक कार्बन अणू म्हणजे ज्याला चार फाटे जोडून घ्यायचे आहेत असा एकक असतो. कार्बनचे अणू कार्बनशीच जोडणे हे हिरा आणि ग्राफाईटमध्ये अगदी वेगळ्या भौमितिक रचनेने घडते. एकाशी डबल बाँड व दोघांशी सिंगल बाँड असे घडले तर १२० अंशाच्या कोनात तीन जोड उपलब्ध होतात याने षट्कोनानी भरलेले प्रतल बनले तर ग्राफाईट बनते. याचे घटक म्हणजे एकमेकावरुन सुखेनैव सरकू शकणारी प्रतले असतात त्यामुळे ग्राफाईट हे इतके मउसूत असते की ते वंगण म्हणून वापरतात.

चार जोड हे त्रिमिती अवकाशातही एकमेकांशी त्रिमिती १२० अंशाचे कोन करू शकतात. चार समभूज त्रिकोणाच्या एका पिरॅमिडला टेट्राहेड्रॉन म्हणतात. त्याच्या चार बिंदूंपाशी एकेक कार्बन आणि त्याच्या गुरुत्वमध्यावर एक कार्बन असे एकेक वर शेंडी असलेले तिकाटणे बनते. प्रत्येक तिकाटण्याच्या पायांना खालच्या थरातील तीन तिकाटण्यांच्या शेंड्या येऊन मिळतात. वरची शेंडी वरील थरातील तिकाटण्याच्या एका पायाला जाऊन मिळते. असे होत होत त्रिमिती अवकाश भरून काढला जातो आणि कुठल्याच अणूला हलायला जागाच रहात नाही. यातून सर्वधिक टणक असा हिरा निर्माण होतो. असे किती टेट्राहेड्रॉन सामावले की रेणू पूर्ण होईल? याला काही मर्यादाच नाही. यामुळे हिऱ्याचा स्फटिक हा आख्खा एकच प्रचंड रेणू असू शकतो. (पृष्ठावर काय होते आणि वेगळ्याच कोनात पैलू पाडताना काय होते हे प्रश्न फारच तपशिलात जाणारे आहेत. ते सोडत आहे.)

५)  टेलिफोन-नंबर ही संख्या आहे काय? का?

संख्येचे कोणतेच गुणधर्म टेलिफोन नंबरला लागू पडत नाहीत. ३३३३३३ हा नंबर दोनदा फिरवला तर ६६६६६६ हा नंबर लागत नसतो. टेलिफोन नंबर हे एक विशेषनाम आहे. ज्या प्रमाणे पासवर्ड हा त्याचा अर्थ काय होतो याच्या निरपेक्ष कुलूप उघडतो त्याप्रमाणे टेलिफोन नंबर एका अनन्य नोड ला जोडले जाण्याचा फक्त मार्ग आहे. अर्थातच ती संख्या नाही.